e is back !

Pour tout entier naturel  $n$ , on considère $I_n={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle \frac{{(1-x)}^n}{n!}}{\text{e}}^x\text{d}x}$ .

1. Calculer $I_0$  et $I_1$ .

2. a. Calculer ${\displaystyle {\int }_0^1(1-x{)}^n\text{d}x}$ .
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel  $n$ , on a $0⩽I_n⩽{\displaystyle \frac{\text{e}}{n+1}}$ .
    c. En déduire que la suite  $\left(I_n\right)$ converge vers $0$ .

3. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},I_k={\displaystyle \frac{1}{(k+1)!}}+I_{k+1}$ .

4. En déduire que $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{k!}}=\text{e}}$ .